Cuando al menos uno de los ángulos interiores de un polígono es mayor a 180°, se trata de un polígono cóncavo. La superficie interior de un tazón es cóncava cuando se ve desde arriba.
CONCEPTO CONVEXO Definimos la idea de conjunto convexo como aquel conjunto que contiene
cualquier segmento que une dos puntos del conjunto.
Una función convexa f definida en un intervalo abierto C es continua en C y diferenciable en todos los puntos numerables. Si C es cerrado, f puede no ser continuo en los puntos críticos o finales de C.
Una función es punto-medio convexa (midpoint convex) en un intervalo "C" si
para todo x e y en C. Esta condición es sólo ligeramente más relajada que la de convexidad. En particular, una función continua que es punto-medio convexa será también convexa.
Una función diferenciable de una variable es convexa en un intervalo sí y sólo si su derivada esmonótonamente no-decreciente en ese intervalo.
Una función continuamente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y sólo si la función se encuentra por encima de todas sus tangentes: f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x) para todo x e yen el intervalo. En particular, si f '(c) = 0, luego c es un mínimo absoluto de f(x).
Una función doblemente diferenciable de una variable es convexa en un intervalo si y sólo si su segunda derivada es no negativa en ese intervalo; esto proporciona una prueba práctica para verificar convexidad. Si la segunda derivada es positiva, entonces es estrictamente convexa, pero la doble implicación no se cumple, como podemos ver por ejemplo en f(x) = x4.
En general, una función continua doblemente diferenciable de muchas variables es convexa en un conjunto convexo si y sólo si su matriz Hessiana is definida positiva en el interior de ese conjunto convexo.
Cualquier mínimo local de una función convexa es también un mínimo absoluto. Una función estrictamente convexa tendrá a lo más un mínimo absoluto.
Uno de los supuestos fundamentales sobre las curvas de indiferencia estándar es que los consumidores prefieren siempre cestas intermedias a cestas extremas. Por ejemplo suponga usted que tiene dos bienes para elegir tales como los sandiwch y las gaseosas, el consumidor estándar preferirá consumir ciertas unidades de uno y ciertas de otra y esto se debe a que los dos bienes no son incompatibles para el consumidor, por tanto, suponemos generalmente preferencias convexas debido a que los bienes suelen consumirse juntos. Existen preferencias que son cóncavas, este caso puede ocurrir si los bienes no son compatibles para el consumidor un ejemplo claro son los antibióticos con el licor, el consumidor racional no elegirá una cesta media ya que no le resulta igual de beneficioso que si elige uno de los dos bienes.
En la parte superior del grafico vemos una preferencia convexa. Los puntos A y C que son cestas extremas y están mas aproximados al origen que el punto B por tanto son cestas menos preferidas (el consumidor prefiere la cesta media). En cambio en la parteinferior vemos como la cesta intermedia E esta más aproximada al origen que las cestas extremas por tanto el consumidor preferirá cestas en los puntos esquina D y F. Desde el punto de vista grafico también se puede distinguir fácilmente un conjunto convexo o no convexo por la propiedad básica que nos dice que podemos tomar cualquier punto del conjunto y todos los puntos de la recta resultante de unir estos dos puntos iniciales quedara contenida en el mismo conjunto, cosa que no ocurre siempre en conjuntos no convexos o cóncavos.
